מטוטלת כאוטית

01/06/2016
שם התלמיד: 
אוהד איזנקוט, בן קומן.

התחלנו בנושא של השפעת גלי קול על מים  (brusspup, 2013)
משם התחלנו להתעניין בנושא הסנכרון והתחלנו לחפש נושא מורכב  תוך זמן קצר נתקלנו במטוטלת כאוטית.
המטוטלת הכאוטית נראתה מעניינת מאוד, וקשורה בצורה עקיפה, לנושא הסנכרון לכן התחלנו לקרוא מאמרים ולראות סרטונים לגבי המטוטלת. העובדה שהמערכת בלתי ניתנת לחיזוי סקרנה אותנו מאוד.

במערכת של מטוטלת מתמטית יש גוף אחד בתנועה ועליו מופעלים כוח קבוע של משקל ומתיחות התלויה בזוית. הכוחות שלא ניתנים לשליטה זניחים ולא משנים את מסלול המטוטלת ולכן מסלולה ניתן לחיזוי. במטוטלת כאוטית הבנויה משתי מטוטלות הצמודות ביניהן  יש השפעה של הגופים (המטוטלות) אחד על השני. בשינויים מזעריים שלא ניתנים לשליטה מתקבל מסלול שונה לחלוטין.
באופן מעשי הכאוס קיים:

  • בחלל מטאורים בעלי כוח כבידה משפיעים אחד על השני.
  • בטבע כשאוכלוסיית הטרף גדלה, אוכלוסיית הטורף גדלה גם היא מכיוון שיש לה יותר מזון.
  •  מערכת כאוטית בעלת מספר רב של גופים שנעים בתגובה לשאר הגופים במערכת
  •  "אפקט הפרפר" מייצג מקרה פרטי בו משק כנפי פרפר עשוי ליצור שינויים קטנים באטמוספירה שבסופו של דבר יגרמו להופעת סופת טורנדו (או ימנעו את הופעתה). הכנפיים המתנופפות מייצגות שינוי קטן בתנאי ההתחלה של המערכת, שגורם שרשרת מאורעות המובילים לתופעה בקנה מידה גדול. אם הפרפר לא היה מנפנף בכנפיו, ייתכן ומסלול המערכת היה שונה במידה ניכרת.

הדוגמאות האלו מושפעות ממספר גופים, אבל החוק הכאוטי זהה גם עבור מספר גופים מינימלי של שניים, כל זמן שיש שתי דרגות חופש ויחס לא לינארי. 
המכנה המשותף של הדוגמאות הנ"ל הוא שישנה מערכת עם מספר גופים וכולם מושפעים אחד מהשני ואז שינוי קטן בתנאי התחלה גורם לשינוי שהולך וגדל לאורך זמן ואת השינוי לא ניתן לנבא רק ניתן להעריך סטטיסטית.
 

עקרונות פיזיקליים מרכזיים

תנועת מטוטלת, משוואות לא לינאריות, צימוד בין מטוטלות. כאוס

שאלות המחקר

  • האם מטוטלת כאוטית כפופה לחוקיות שניתן לחזות? 
  • האם ניתן לתאר חוקיות קבועה במטוטלת כאוטית?
  • מהי האנרגיה המינימאלית על מנת שהגוף השני במטוטלת ישלים סיבוב מלא?
  • האם יש התאמה בין הפיתוח המתמטי לניסויי ולסימולציית מחשב?

מסקנות

 בהסתכלות על תנועה של מטוטלת כאוטית ראינו שיש שני מודים של תנועה מוד שבו שני המטוטלות בפאזה זהה ומוד שבו הן נעות בפאזה הפוכה. ניסינו למצוא חוקיות לקשר בין תנאי ההתחלה (כמות אנרגיה התחלתית) לבין סוגי התנועה . ראינו שבזוויות קטנות המטוטלות נעות באותה פאזה ובתנאי התחלה מסוימים יש תנועה שמשלבת בין שני המודים לחילופין. בתנאי התחלה עם אנרגיה גבוהה מאוד קיבלנו סיבוב מלא של החלק השני במטוטלת.
ניסינו להגיע לגרף ביפורקציה שימפה את המעבר ממצב של מוד אחד לשני ולתנועה שהחלק השני משלים סיבוב מלא, ולהתייחס אליה כתנועה לא מוגדרת / כאוטית.
לא הצלחנו להגיע לגרף ביפורקציה מכיוון שלא הצלחנו למדוד את זווית  teta1 ו teta2 באותו הזמן. כי שתי המטוטלות לא מגיעות לעצירה בו זמנית. מהספרות  (ברקוביץ, 2015) הבנו שעל מנת להגיע לגרף ביפורקציה צריך גורם מאלץ עם תדר נשלט.

מכאן עברנו למיפוי של תנאי לסיבוב מלא של המטוטלת התחתונה במערכת (ראה גרף מספר 3) המתאר גבול אנרגטי של teta1  כפונקציה של teta2 

.   נתנו לניסוי בסימולציית במחשב זווית התחלה של 42 מעלות ואכן קיבלנו סיבוב מלא של הגוף השני כלומר האנרגיה הפוטנציאלית שהגוף הראשון אכסן אכן הייתה מספיקה כדי שהאנרגיה הזאת תעבור לגוף השני ותגרום לו להסתובב (למרות זאת לא ניתן היה לדייק עם המסות בסימולציה וזה גרם לסטייה קלה למרות התוצאות שקיבלנו) ובמערכת שלנו המעשית עשינו את אותו הדבר, הצבנו את הזווית ההתחלתית 42 מעלות  וקיבלנו גם סיבוב של הגוף השני. בחלק 1 שבו חישבנו בעזרת הנוסחה התיאורטית את הזווית לסיבוב מלא קיבלנו מהכנסת הנתונים לאקסל כי זווית המעבר היא 41 מעלות ואילו בחלק 2 של הניסוי הפיזי זווית המעבר היא 42 מעלות אזיי קיימת סטייה של שתי מעלות שזה 5%  סטייה. ניתן להסביר שבניסוי הפיזי יש עיבוד אנרגיה בחיכוך של המייסבים וחיכוך המטוטלת עם האוויר ולכן יש לספק יותר אנרגיה התחלתית אזי זווית גבוהה יותר בשתי מעלות. ואילו בניסוי הנומרי בזווית של 41.5 מעלות אכן התבצע כמצופה סיבוב של הגוף השני. הסטייה בין הסימולציה לתיאוריה היא 1.5 מעלות  ולכן אחוזי הסטייה קטנים 3.75%. בין הסימולציה לניסוי המעשי הסטייה יותר קטנה 1.1% הסבר לזה שגם בניסוי וגם בסימולציה יש חיכוך. אך שגיאות המדידה הן מסדר גובל של הסטייה.

 

מנחה/ים: 

גיל: